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まず「最初に『かけざん』が発明されたときの発想」と、「最初の発想を “自然な範囲” で拡張していって定着した『現代のかけざん』」は、同じ系譜の元ネタと進化形で別物であるとして区別する必要がある。
多分根本的にはここの区別が甘いのではなかろうか

最初に「『3+3+3+3』は『3を4回足す』だから、これを新しい演算として定義しよう！」という発想があった。
ここまでは良いが、それはあくまで元ネタにすぎなくて、いわゆる “かけ算” の定義そのものではない。そこを区別する必要がある。

で、かけ算における “自然な拡張” ってやつは何なのかというと、たとえば交換法則 (掛ける順番を変えても同じだよね) とか、逆演算 (「nを掛ける」を取り消すような反対の演算があってもいいよね) の発想を取り込んだ逆数とか、分配法則 (足し算と組み合わせてもそれっぽく機能するはずだよね) とか、そういう諸々のこと

(まあ「10×0.3」という例自体について言えば、根本的には「小数って何だ」の部分に乗算が関係しているので、それが循環論法に見えているという面もありそう)